Kiểm tra bài cũ
Định nghĩa (E)
Viết phương trình của (E) biết tổng khoảng cách từ điểm M thuộc (E) đến hai tiêu điểm F1 và F2 bằng 10 và khoảng cách giữa hai tiêu điểm bằng 6 , tiêu điểm nằm trên Ox
Đáp án
(E) :x2/a2 + y2/b2 = 1
Ta có 2a = 10, 2c = 6. Do đó a = 5 và c = 3
Vậy (E) : x2 / 25 + y2 / 9 = 1
1. Định nghĩa
Cho 2 điểm cố định F1 , F2 và độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F 1 F2 . Hyperbol là tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng sao cho
/ F1 M – F2 M / = 2a
Các điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của Hyperbol.
Độ dài F1 F2 = 2c ( c > a ) gọi là tiêu cự của (H)
2. Phương trình chính tắc Của (H)
Chọn hệ trụctọa độ Oxy sao cho F1 ( - c; 0 ) , F2 ( c ; 0 ) .Khi đó ngườita chứng minh được :
M(x; y) ( H)
x2 / a2 – y2 / b2 = 1( 1)
Với b2 = c2 – a2
Cho (H) có tiêu điểm F1 , F2 . Điểm M thuộc (H) khi và chỉ khi / F1 M – F2 M / = 2a
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của
hyperbol
Ví dụ 1 :viết phương trình chính tắc của (H) qua
M ( 2 ; 1 ) N ( -4 , 2 )
Giải :
(H) : x2 / a2 – y2 / b2 = 1
M,N thuộc (H) ta có : 20 / a2 - 1 / b2 = 1
32/a2 – 4 / b2 = 1
Do đó 1/a2 = 1/ 16 và 1 / b2 = 1 / 4
Nên a2 = 16 , b2 = 4
Vậy (H) : x2 / 16 – y2 / 4 = 1
PTCT:(H)
Tâm đối xứng : O
Trục đối xứng : Ox, Oy
Đỉnh : A1(-a; 0), A2(a; 0 )
Tiêu điểm : F1(-c;0),F2(c;0)
V?i c2 = a2 + b2
D? dài tr?c th?c : A1A2 = 2a
Độ dài tr?c ?o :B1B2 = 2b
Tiêu cự : F1F2 =2c
Tâm sai : e = c / a
Bán kính qua tiêu điểm :
MF1= ex+ a, MF2 = ex- a ( x > 0 )
Hình chữ nhật cơ sở có
độ dài các cạnh : 2a , 2b
( e > 1 )
O
x
y
A1( -a ; 0 )
A2 (a;0)
F1 ( -c ;0 )
F2 ( c; 0)
B1 ( 0;-b)
B2 ( 0; b)
Pt tiệm cận y =
3. Các yếu tố của (H)
M(x, y)
MF1 = -ex-a, MF2 = -ex + a ( x < 0 )
Đường chuẩn x = - a/ e , x = a/ e
4 .Các ví dụ
Ví dụ 2 : Cho ( H) : 4x2 – y2 – 4= 0 . Xác định các yếu tố của (H ) và vẽ (H)
Giải :
(H) : x2 – y2 / 4 = 1

Ta có : a2 = 1 , b2 = 4
Do đó : a = 1 , b = 2 , c =
Độ dài trục thực : 2a =
2
Độ dài trục ảo : 2b =
4
C2 = a2 = b2 = 5
Đỉnh: A1 (-1 ; 0 ) , A2 ( 1 ; 0 )
Tiêu điểm : F1 (- 5;0 ) , F2 ( 5 ; 0 )
Tiêu cự : 2c = 2
Tâm sai : e = c /a =
Phương trình các đường tiệm cận :
y = -2x ; y = 2x
Vẽ (H)
O X
Y
A1 ( - 1 ; 0 )
A2 ( 1 ; 0 )
B1 ( 0; -2)
B2 ( 0 ; 2 )
5 Tiếp tuyến của (H)
Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M (x0 ; yo ) là :
d :yoy / a2 – x0 x / b2 = 1
Điều kiện tiếp xúc :
d : Ax + B y + C = 0 tiếp xúc (H)
a 2A2 – b2 B2 = C 2
Lưu ý :
1/ Khi a = b tacó (H ) vuông
(H) : x2 / a2 – y2 / b2 = 1 và (H’ ): y2 / b2 – x2 / a2 = 1
Là hai hyperbol liên hợp
Ví dụ 3:
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (H) trong ví dụ 1 tại điểm A ( 4 ; 4 )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ B ( 2 ; - 1)
Giải :
1/ Tiếp tuyến d : 5 x -4y – 4 = 0
2/ d qua B ( 2 ; -1 ) có vtpt
= ( A ; B )
d : Ax + By – 2A + B = 0
d tiếp xúc với (H) ta có 16A2 – 4B2 = ( -2A + B )2
12A2 + 4AB – 5B2 = 0
Tìm được B = 2A ( loại ), 6A = - 5 B
vậy d: 5x- 6y-16 = 0
Ví dụ 4 :
Tìm và vẽ (H’ ) liên hợp với (H) trong ví dụ 2
Giải
(H’ ) :y2 / 4 – x2 = 1
Vẽ (H’ )
Cũng cố:
Làm bài tập 1 đến sách giáo khoa trang